高考数学从零开始：三角函数与解三角形

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发表于 2026-05-24

更新于 2026-05-24

高考数学

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前言

三角函数是高考数学中相对稳定的中档题板块。它的核心工具性非常强 — 无论是后续的向量、解析几何还是物理学科，都离不开三角函数。

三角函数有两个主要考查方向：一是三角函数本身的性质（图像、周期、单调性、最值），二是解三角形（正余弦定理的应用）。

第一部分：任意角与弧度制

1.1 角的推广

初中只学了 $0°$ 到 $360°$ 的角，高中要推广到任意角：

正角：逆时针旋转
负角：顺时针旋转
零角：不旋转

终边相同的角：所有与 $\alpha$ 终边相同的角可以表示为 $\alpha + k \cdot 360°$（或 $\alpha + 2k\pi$），其中 $k \in \mathbb{Z}$。

例：$390° = 30° + 360°$，所以 $390°$ 与 $30°$ 终边相同。
$-330° = 30° - 360°$，所以 $-330°$ 也与 $30°$ 终边相同。

1.2 弧度制

弧度制的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

换算关系：

$180° = \pi\ \text{rad}$
$1° = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}$
$1\ \text{rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°$

常见角度换算：

角度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$	$270°$	$360°$
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

弧长公式：$l = |\alpha| \cdot r$

扇形面积公式：$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}|\alpha|r^2$

第二部分：三角函数的定义

2.1 单位圆定义

在平面直角坐标系中，以原点为圆心、半径为 1 的圆叫做单位圆。

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则：

$\sin \alpha = y$（纵坐标）
$\cos \alpha = x$（横坐标）
$\tan \alpha = \frac{y}{x}$（纵坐标除以横坐标，$x \neq 0$）

这个定义的好处是：自动处理了符号问题。点在哪个象限，函数值的正负一目了然。

2.2 三角函数在各象限的符号

象限	sin	cos	tan
第一象限	+	+	+
第二象限	+	−	−
第三象限	−	−	+
第四象限	−	+	−

记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦（哪个函数在第一象限外为正，就记哪个）。

2.3 同角三角函数的基本关系

关系	公式
平方关系	$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
商数关系	$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
倒数关系	$\sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$，$\cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$，$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

常用变形：

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
$(\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 = 1 \pm 2\sin \alpha \cos \alpha$
$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{2}$

高考技巧：已知 $\sin \alpha + \cos \alpha = a$，求 $\sin \alpha \cos \alpha$。
两边平方：$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = a^2$
即 $1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = a^2$
所以 $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{a^2 - 1}{2}$

第三部分：诱导公式

3.1 核心口诀

“奇变偶不变，符号看象限”

奇变偶不变：$\frac{\pi}{2} \cdot k \pm \alpha$ 中，$k$ 为奇数时函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$，$\tan \leftrightarrow \cot$），$k$ 为偶数时函数名不变。
符号看象限：把 $\alpha$ 看成锐角，看原函数在对应象限的符号。

3.2 六组诱导公式

公式	sin	cos	tan
$-\alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\cot \alpha$
$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cot \alpha$
$\pi - \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\pi + \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\tan \alpha$
$2\pi - \alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$

使用步骤：
负角化正角（用 $-\alpha$ 公式）
大角化小角（减去 $2\pi$ 的整数倍）
化为锐角三角函数
最终目标：任意角的三角函数 → 锐角三角函数

第四部分：三角恒等变换

4.1 和差公式

公式	表达式
两角和的余弦	$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
两角差的余弦	$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
两角和的正弦	$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
两角差的正弦	$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
两角和的正切	$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
两角差的正切	$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

记忆提示：余弦的和差公式，中间符号与括号内相反；正弦的和差公式，中间符号与括号内相同。

4.2 二倍角公式

公式	表达式
正弦二倍角	$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
余弦二倍角	$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
正切二倍角	$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

重要变形（降幂公式）：

$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$

降幂公式在化简和求积分中非常常用。

4.3 辅助角公式

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)$$

其中 $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

应用：求 $y = 3\sin x + 4\cos x$ 的最大值和最小值。
解：$y = 5\sin(x + \varphi)$，所以最大值为 $5$，最小值为 $-5$。

第五部分：三角函数的图像与性质

5.1 三个基本三角函数

性质	$y = \sin x$	$y = \cos x$	$y = \tan x$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
值域	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
对称中心	$(k\pi, 0)$	$(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0)$	$(\frac{k\pi}{2}, 0)$
对称轴	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$	$x = k\pi$	无

5.2 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的性质

这是高考最常考的形式，其中：

$A$：振幅，决定了最大值为 $A$，最小值为 $-A$
$\omega$：角频率，周期 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$
$\varphi$：初相，决定了图像的左右平移

关键量的求法：

量	计算方法
周期	$T = \frac{2\pi}{
单调递增区间	令 $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，解出 $x$
单调递减区间	令 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$，解出 $x$
对称轴	令 $\omega x + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$，解出 $x$
对称中心	令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解出 $x$，中心为 $(x, 0)$

5.3 图像变换

由 $y = \sin x$ 得到 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的两种路径：

路径一：先平移后伸缩

$y = \sin x$ 向左平移 $\varphi$ 个单位 $\to y = \sin(x + \varphi)$
横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ $\to y = \sin(\omega x + \varphi)$
纵坐标变为原来的 $A$ 倍 $\to y = A\sin(\omega x + \varphi)$

路径二：先伸缩后平移

$y = \sin x$ 横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ $\to y = \sin(\omega x)$
向左平移 $\frac{\varphi}{\omega}$ 个单位 $\to y = \sin(\omega(x + \frac{\varphi}{\omega})) = \sin(\omega x + \varphi)$
纵坐标变为原来的 $A$ 倍 $\to y = A\sin(\omega x + \varphi)$

易错点：先伸缩后平移时，平移量是 $\frac{\varphi}{\omega}$ 而不是 $\varphi$。这是高考选择题的常见陷阱。

第六部分：解三角形

6.1 正弦定理

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中 $R$ 是三角形外接圆的半径。

作用：

已知两角和一边，求其他边（角角边）
已知两边和其中一边的对角，求其他角（边边角，注意可能有两解、一解或无解）

常见变形：

$a = 2R \sin A$
$\sin A = \frac{a}{2R}$
$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

6.2 余弦定理

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

作用：

已知三边，求角（边边边）
已知两边及其夹角，求第三边（边角边）

判断三角形形状：

若 $a^2 + b^2 = c^2$，则 $C = 90°$，直角三角形
若 $a^2 + b^2 > c^2$，则 $C < 90°$，锐角
若 $a^2 + b^2 < c^2$，则 $C > 90°$，钝角

6.3 三角形面积公式

公式	适用场景
$S = \frac{1}{2}ab\sin C$	已知两边和夹角
$S = \frac{1}{2}ah_a$	已知底和高
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式）	已知三边，$p = \frac{a+b+c}{2}$

6.4 解三角形的判断（边边角情况）

已知 $a, b, A$，求 $B$。这是最容易出错的情况：

条件	解的情况
$a < b\sin A$	无解
$a = b\sin A$	一解（直角三角形）
$b\sin A < a < b$	两解
$a \geq b$	一解

画个图就好理解：固定边 $b$ 和角 $A$，边 $a$ 的长度决定了能否构成三角形以及构成几个三角形。

第七部分：常见考点与解题策略

7.1 三角函数化简的一般步骤

先用诱导公式把角化为锐角
再用和差公式展开
用二倍角公式统一角度
最后用辅助角公式合并为单一三角函数

7.2 求 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最值

先求 $\omega x + \varphi$ 的范围
看这个范围是否包含 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$（最大值点）或 $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$（最小值点）
包含则最值为 $\pm A$，不包含则比较端点值

7.3 解三角形的常见题型

已知条件求边或角：选正弦定理还是余弦定理
- 条件中有两角一边或两边和一对角：优先正弦定理
- 条件中有两边和夹角或三边：优先余弦定理
判断三角形形状：用余弦定理或大边对大角
求面积或周长最值：结合基本不等式或三角函数性质

7.4 易错点清单

易错点	正确做法
忘记讨论 $\omega$ 的正负	周期 $T = \frac{2\pi}{
单调区间写错	先令 $\omega x + \varphi$ 在单调区间内，再解出 $x$，注意 $\omega$ 的正负影响不等号方向
边边角情况漏解	已知两边和一角时，一定要画图判断解的个数
忽略三角形中 $A + B + C = \pi$	在三角形中，$\sin(A + B) = \sin C$，$\cos(A + B) = -\cos C$

小结

三角函数的核心可以归纳为一个定义、四组公式、三类图像、两个定理：

一个定义：单位圆定义（自动处理符号）
四组公式：诱导公式、和差公式、二倍角公式、辅助角公式
三类图像：$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$ 及其变换
两个定理：正弦定理、余弦定理

三角函数板块的关键是公式要熟、变形要快、计算要准。公式的推导可以自己过几遍，理解了就不容易忘。

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